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如果對于函數f（x）定義域內任意的x，都f（x）≥M（M為常數），稱M為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．下列函數中，有下確界的函數是（　　）
①f（x）=sinx
②f（x）=lgx
③f（x）=e^x
④f（x）=

1，x＞0

0，x=0

-1，x＜0

．

A、①②	B、①③
C、②③④	D、①③④

分析：本題考查的是函數的最值問題．在解答的過程當中，要先充分體會題目所給的新定義含義，然后針對所給的四個函數逐一進行驗證即可．解答時要充分利用好函數的性質求解相應函數的最小值．

解答：解：對f（x）=sinx≥-1 在R上恒成立，所以此函數有下確界；
對f（x）=lgx∈R在（0，+∞）上恒成立，所以此函數無下確界；
對f（x）=e^x∈（0，+∞）在R上恒成立，所以此函數有下確界；
對f（x）=

1，x＞0

0，x=0

-1，x＜0

∈{-1，0，1}在（0，+∞）上恒成立，所以此函數有下確界；
綜上可知①③④對應的函數都有下確界．
故選D．

點評：本題考查的是函數的最值和新定義相聯系的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了新定義問題的特點、問題轉化的思想以及函數求最值的方法．值得同學們體會反思．

練習冊系列答案

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如果對于函數f（x）的定義域內任意的x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就稱函數f（x）是定義域上的“平緩函數”．
（1）判斷函數f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數”；
（2）若函數f（x）是閉區間[0，1]上的“平緩函數”，且f（0）=f（1）．證明：對于任意
的x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤

成立．
（3）設a、m為實常數，m＞0．若f（x）=alnx是區間[m，+∞）上的“平緩函數”，試估計a的取值范圍（用m表示，不必證明）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

8、如果對于函數f（x）定義域內任意的兩個自變量的值x₁，x₂，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），且存在兩個不相等的自變量值y₁，y₂，使得f（y₁）=f（y₂），就稱f（x）為定義域上的不嚴格的增函數，已知函數g（x）的定義域、值域分別為A、B，A=1，2，3，B⊆A，且g（x）為定義域A上的不嚴格的增函數，那么這樣的g（x）共有（　　）

A、3個

B、7個

C、8個

D、9個

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科目：高中數學 來源： 題型：

如果對于函數f（x）的定義域內的任意x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，那么就稱函數f（x）是定義域上的“平緩函數”．
（1）判斷函數f（x）=x²-x，x∈[0，1]是否是“平緩函數”？
（2）若函數f（x）是閉區間[0，1]上的“平緩函數”，且f（0）=f（1）．證明：對任意的x，x₂∈[0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如果對于函數f（x）定義域內任意的x，都有f（x）≥M（M為常數），稱M為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．定義在[1，e]上的函數f（x）=2x-1+lnx的下確界M=

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

定義在D上的函數f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．如果對于函數f（x）的所有上界中有一個最小的上界，就稱其為函數f（x）的上確界．已知函數f(x)=1+a•(

)x+(

)x，g(x)=

1-m•2x

1+m•2x

．
（1）當a=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；
（3）若m＞0，求函數g（x）在[0，1]上的上確界T（m）．

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