Question

如果對于函數f（x）定義域內任意的x，都有f（x）≥M（M為常數），稱M為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．定義在[1，e]上的函數f（x）=2x-1+lnx的下確界M=

1

．

Answer 1

分析：根據題中函數下界和下確界的定義，得到函數的下確界是小于或等于函數f（x）在其定義域內的最小值的那個常數，然后利用導數研究函數f（x）=2x-1+lnx的單調性，得到它在區間[1，e]上是增函數，最小值為f（1）=1，從而得到函數的下確界M=1．

解答：解：∵對于函數f（x）定義域內任意的x，都有f（x）≥M（M為常數），
∴函數f（x）定義域內任意的x，[f（x）]_min≥M
∵M為f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下確界．
∴下確界是小于或等于函數f（x）在其定義域內的最小值的常數
對于f（x）=2x-1+lnx，求導數得：f'（x）=2+

1

x

，其中x∈[1，e]
∵

1

x

∈[

1

e

，1]，
∴f'（x）≥2+

1

e

＞0
∴f（x）在區間[1，e]上是增函數，故[f（x）]_min=f（1）=2×1-1+ln1=1
∴對任意的x∈[1，e]，f（x）≥1成立
函數的下界為小于或等于1的數，其中最大值為1，因此下確界M=1
故答案為：1

點評：本題以函數的下界和下確界為載體，著重考查了函數的單調性與最值的求法，考查了對不等式恒成立的理解，屬于中檔題．