Question

【題目】設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為 q(q > 0，q = 1)，前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 2a1a3 = a4，數(shù)列｛｝的前 n 項(xiàng)和 Tn 滿(mǎn)足2Tn = n(bn - 1)，n ∈N＊，b2 = 1.

(1) 求數(shù)列 ｛｝，｛｝的通項(xiàng)公式；

(2) 是否存在常數(shù) t，使得 {Sn+ } 為等比數(shù)列？說(shuō)明理由；

(3) 設(shè) cn =，對(duì)于任意給定的正整數(shù) k(k ≥2), 是否存在正整數(shù) l，m(k < l < m), 使得 ck，c1，cm 成等差數(shù)列？若存在，求出 l，m（用 k 表示），若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）存在，使得是公比為的等比數(shù)列；（3）存在符合題意.

【解析】

（1）利用基本量運(yùn)算可得，利用n≥2時(shí)，2bn＝2（Tn﹣Tn﹣1），整理可得；

（2）由Sn，分別討論t時(shí)和t時(shí)，由等比數(shù)列的定義證明即可；

（3）假設(shè)對(duì)于任意給定的正整數(shù)k（k≥2），存在正整數(shù)l，m（k＜l＜m），使得ck，c1，cm成等差數(shù)列．則，整理得：2m+1，取l＝2k，即可得解.

（1）等比數(shù)列{an}的公比為q（q＞0，q＝1），∵2a1a3＝a4，

∴，可得a1．

∴anqn﹣1．

數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿(mǎn)足2Tn＝n（bn﹣1），n∈N*，b2＝1．

∴n≥2時(shí)，2bn＝2（Tn﹣Tn﹣1）＝n（bn﹣1）﹣（n﹣1）（bn﹣1﹣1），

化為：（n﹣2）bn＝（n﹣1）bn﹣1+1，

當(dāng)n≥3時(shí)，兩邊同除以（n﹣2）（n﹣1），可得：，

利用累加求和可得：b2+1，化為：bn＝2n﹣3（n≥3），

當(dāng)n＝1時(shí)，2b1＝b1﹣1，解得b1＝﹣1，

經(jīng)過(guò)驗(yàn)證n＝1，2時(shí)也滿(mǎn)足．

∴bn＝2n﹣3．

（2）由（1）可知：an，q＞0，q≠1．

∴Sn．

①若t時(shí)，則Sn，∴q．

即數(shù)列{Sn}是公比為q的等比數(shù)列．

②若t時(shí)，則Sn．

設(shè)A，B．（其中A，B≠0）．

則q不為常數(shù)．

綜上：存在t時(shí)，使得數(shù)列{Sn}是公比為q的等比數(shù)列．

（3）由（1）可知：bn＝2n﹣3．

，

假設(shè)對(duì)于任意給定的正整數(shù)k（k≥2），存在正整數(shù)l，m（k＜l＜m），使得ck，c1，cm成等差數(shù)列．

則，整理得：2m+1，

取l＝2k，則2m+1＝（4k+1）（2k+1），解得m＝4k2+3k．

即存在l＝2k，m＝4k2+3k．符合題意．