Question

已知橢圓的離心率為，為橢圓的左右焦點，；分別為橢圓的長軸和短軸的端點(如圖) . 若四邊形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程.

（Ⅱ）拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，過點任意作一條直線，交拋物線于兩點. 證明：以為直徑的所有圓是否過拋物線上一定點.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：(1)根據題意設橢圓方程為,

由已知,,則，又,

，    ，所求的橢圓方程為.  ….…6分

(2) 根據題意知拋物線方程為: ，設滿足題意的點為，

設其中，因為是直徑，所以，

  ，

整理為：   …… ……（※）

同時，

整理為：  代入點得：

即有：,將其代入（※）式中整理為：

顯然時上式恒成立, 進而算得，所以為定點，從而說明滿足題意的存在為.   當直線垂直于軸時,易求得以為直徑的圓為，同樣可檢驗其經過.                  ….…15分

方法二：（2）設設直線AB的方程為，與聯立消有,

，

以AB為直徑的圓的方程為，即

，代入，有

，

即，

令. ……15分

 

【解析】略