Question

【題目】今有一個“數列過濾器”，它會將進入的無窮非減正整數數列刪去某些項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數數列，每次“過濾”會刪去數列中除以余數為的項，將這樣的操作記為操作.設數列是無窮非減正整數數列.

（1）若，進行操作后得到，設前項和為

①求．

②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由．

（2）若，對進行與操作得到，再將中下標除以4余數為0，1的項刪掉最終得到證明：每個大于1的奇平方數都是中相鄰兩項的和．

Answer 1

【答案】（1）①②不存在．見解析（2）見解析

【解析】

（1）計算得到，再計算得到答案，假設存在，由單調遞增，不妨設，化簡，不成立.

（2）計算，根據題意得到，再證明得到答案.

（1）①由知：當時，故．

則．

②解：假設存在，由單調遞增，不妨設

化簡得，顯然左式為偶數，右式為奇數，矛盾，故不存在．

（2）易知，

所以保留，則．

又，將刪去，

得到，則

也即．

記，下面證明：．

由，

知：

，

同理可得：，

合并以上四式，便證明了對任意的，都有．

因此，原命題得證．