Question

【題目】已知橢圓的離心率e滿足，右頂點為A，上頂點為B，點C(0，－2)，過點C作一條與y軸不重合的直線l，直線l交橢圓E于P，Q兩點，直線BP，BQ分別交x軸于點M，N；當直線l經過點A時，l的斜率為．

(1)求橢圓E的方程；

(2)證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）由得，從而可得，又有，可得，從而可求出橢圓E的方程；

（2）由題知，直線的斜率存在，設直線的方程為

聯立直線與橢圓的方程得韋達定理，且=，得，寫出直線BP的方程，求得，同理可得，化簡求得=為定值．

解：（1）由解得或（舍去），

∴，又，

，

又，

，，

橢圓E的方程為；

（2）由題知，直線的斜率存在，設直線的方程為，

設，

由得，

∴，

=

，

∴，

=，

直線BP的方程為，令解得，則，

同理可得，

=

==，

為定值．