Question

已知正方形ABCD的邊長為2，點P為對角線AC上一點，則（

.

AP

+

.

BD

）•（

.

PB

+

.

PD

）的最大值為

 

Answer 1

分析：由已知中正方形ABCD的邊長為2，我們可以建立直角坐標(biāo)系，選求出各點坐標(biāo)，設(shè)出動點P的坐標(biāo)，再求出各向量的坐標(biāo)，得到（

.

AP

+

.

BD

）．（

.

PB

+

.

PD

）表達式，進而得到最大值．

解答：解：以A為坐標(biāo)原點，以AB為X軸正方向，
以AD為Y軸正方向建立直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），
∵P點有對角線AC上，設(shè)P（x，x），0＜x＜2
所以

.

AP

=（x，x），

.

BD

=（-2，2），

.

PB

=（2-x，-x），

.

PD

=（-x，2-x）
（

.

AP

+

.

BD

）•（

.

PB

+

.

PD

）
=4x-4x²=-4（x-

1

2

）²+1
當(dāng)x=

1

2

時，有最大值為1
故答案為：1

點評：本題考查的知識點是平面向量數(shù)量積的運算，其中建立坐標(biāo)系，引入各向量的坐標(biāo)，是解答問題的關(guān)鍵．