Question

【題目】已知定義域為的函數滿足：對任何，都有，且當時，，在下列結論中，正確命題的序號是________

① 對任何，都有；② 函數的值域是；

③ 存在，使得；④ “函數在區間上單調遞減”的充要條

件是“存在，使得”；

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

依據題中條件注意研究每個選項的正確性，連續利用題中第（1）個條件得到①正確；連續利用題中第①②個條件得到②正確；利用題目中的條件求出n的值判斷③正確；令3k≤a＜b≤3k+1，利用函數單調性的定義判斷④正確。

對于①，對任意x∈[0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，

當x∈（1，3]時，f（x）=3-x；

所以f（3m）=f（33m-1）=3f（3m-1）=…=3m-1f（3）=0，①正確；

對于②，取x∈（3m，3m+1]，

從而函數f（x）的值域為[0，+∞），②正確；

對于③，x∈（1，3]時，f（x）=3-x，

對任意x∈（0，+∞），恒有f（3x）=3f（x）成立，n∈Z，

所以

解得n=2，∴③正確；

對于④，令 則

所以

∴函數f（x）在區間（a，b））（3k，3k+1）上單調遞減，④正確；

綜上所述，正確結論的序號是①②③④．

故答案為：①②③④．