Question

【題目】已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且圓心在直線(xiàn)上

（1）求圓C的方程.

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)：在直線(xiàn)上是否存在定點(diǎn)N，使得（，分別為直線(xiàn)AN，BN的斜率）恒成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點(diǎn)，使得恒成立

【解析】

（1）的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)就是圓心，求出圓心即可得到半徑，圓的方程得解；

（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與圓的方程，消去y整理得，根據(jù)建立等式，結(jié)合韋達(dá)定理求出定點(diǎn)，檢驗(yàn)直線(xiàn)斜率為0和斜率不存在的情況.

（1）由題可知線(xiàn)段EF的中點(diǎn)為，EF的垂直平分線(xiàn)的斜率為5，

的垂直平分線(xiàn)的方程為.

EF的垂直平分線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為圓心C，

由，解得，即.

又，

圓C的方程為.

（2）當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的斜率為k，則過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)AB的方程為，由，消去y整理得.

設(shè)，，

，.（*）

設(shè)，則，.

，

，，

即，

將（*）式代入得，

解得故點(diǎn)N的坐標(biāo)為.

當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率為0時(shí)，顯然點(diǎn)可使成立.

當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)AB的方程為，，，顯然點(diǎn)N可使成立.

在直線(xiàn)上存在定點(diǎn)使得恒成立.