Question

【題目】(2017·江蘇高考)如圖，在三棱錐ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E，F(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求證：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結論；（2）先由面面垂直性質定理得平面，則 ，再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．

試題解析：證明：（1）在平面內，因為AB⊥AD， ，所以.

又因為平面ABC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因為平面ABD⊥平面BCD，

平面平面BCD=BD，

平面BCD， ，

所以平面.

因為平面，所以 .

又AB⊥AD， ， 平面ABC， 平面ABC，

所以AD⊥平面ABC，

又因為AC平面ABC，

所以AD⊥AC.

點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直．