Question

【題目】已知函數 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．
（1）討論 f（x）的單調性；
（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，

∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），

①當a=0時，f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）在R上單調遞增，

②當a＞0時，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，

當x＜lna時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

當x＞lna時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，

③當a＜0時，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣ ），

當x＜ln（﹣ ）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，

當x＞ln（﹣ ）時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，

綜上所述，當a=0時，f（x）在R上單調遞增，

當a＞0時，f（x）在（﹣∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，

當a＜0時，f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上單調遞減，在（ln（﹣ ），+∞）上單調遞增

（2）解：①當a=0時，f（x）=e2x＞0恒成立，

②當a＞0時，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，

∴lna≤0，

∴0＜a≤1，

③當a＜0時，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣ ））= ﹣a2ln（﹣ ）≥0，

∴ln（﹣ ）≤ ，

∴﹣2 ≤a＜0，

綜上所述a的取值范圍為[﹣2 ，1]

【解析】（1）先求導，再分類討論，根據導數和函數的單調性即可判斷，（2）根據（1）的結論，分別求出函數的最小值，即可求出a的范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．