【題目】已知函數
，
.
（1）若，當
時，解關于
的不等式
；
（2）證明：
有且僅有2個零點.
【答案】（1）
；（2）見解析
【解析】
（1）先由導數的知識判斷出
在
上單調遞增，再由不等式
得
，解之即可；（2）由（1）可知函數在上沒有零點，
當
時，令
，則
，易知
，則
在
上單調遞增，再根據
、
得出
，使得
，得在
上單調遞減，在
上單調遞增，
然后由
、
、
并結合函數的零點存在性定理可得在
，
上分別有一個零點.
（1）當
時，
.
故在上單調遞增，∴不等式等價于解得
.
故關于
的不等式的解集為.
（2）證明：由（1）知函數在上單調遞增，且
.
∴函數在上沒有零點.
設，，
當時，
，
，∴.∴
在上單調遞增.
易知在上單調遞增，且
，
.
故，使得，所以在上單調遞減，在上單調遞增.
又因為
，
，
.
所以在，上分別有一個零點.
綜上所述：有且僅有2個零點.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB＝AP＝3，AD＝PB＝2，E為線段AB上一點，且AE︰EB＝7︰2，點F、G分別為線段PA、PD的中點．
（1）求證：PE⊥平面ABCD；
（2）若平面EFG將四棱錐P－ABCD分成左右兩部分，求這兩部分的體積之比．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝cos（2x
）+2sin（
）sin（
x）．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）求函數y＝f（x）的對稱軸方程，并求函數f（x）在區間[
，
]上的最大值和最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且
．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）設點G在PB上，且
．判斷直線AG是否在平面AEF內，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為自然對數的底數），
是
的導函數.
（Ⅰ）當
時，求證
；
（Ⅱ）是否存在正整數
，使得
對一切
恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】通過隨機詢問100名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到如下
列聯表：
（1）能否有
的把握認為是否愛好該項運動與性別有關？請說明理由．
（2）利用分層抽樣的方法從以上愛好該項運動的大學生中抽取6人組建“運動達人社”，現從“運動達人社”中選派2人參加某項校際挑戰賽，求選出的2人中恰有1名女大學生的概率．
男 | 女 | 總計 | |
愛好 | 40 | 20 | 60 |
不愛好 | 15 | 25 | 40 |
總計 | 55 | 45 | 100 |
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
，其中
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，F1（﹣2，0），F2（2，0）是橢圓C：
的兩個焦點，M是橢圓C上的一點，當MF1⊥F1F2時，有|MF2|＝3|MF1|．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點P（0，3）作直線l與軌跡C交于不同兩點A，B，使△OAB的面積為
（其中O為坐標原點），問同樣的直線l共有幾條？并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場為吸引顧客消費推出一項優惠活動．活動規則如下：消費額每滿100元可轉動如圖所示的轉盤一次，并獲得相應金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置.若指針停在A區域返券60元；停在B區域返券30元；停在C區域不返券.例如：消費218元，可轉動轉盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（1）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元的概率；
（2）若某位顧客恰好消費280元，并按規則參與了活動，他獲得返券的金額記為
（元）．求隨機變量
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
，有下列4個命題：①任取
，都有
恒成立；②
，對于一切
恒成立；③函數
有3個零點；④對任意
，不等式
恒成立.則其中所有真命題的序號是______.
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