Question

（2013•安徽）設函數f（x）=sinx+sin（x+

π

3

）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）不畫圖，說明函數y=f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經過怎樣的變化得到．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第二項利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的圖象與性質即可求出滿足題意x的集合；
（Ⅱ）根據變換及平移規律即可得到結果．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+

1

2

sinx+

3

2

cosx=

3

2

sinx+

3

2

cosx=

3

sin（x+

π

6

），
∴當x+

π

6

=2kπ-

π

2

（k∈Z），即x=2kπ-

2π

3

（x∈Z）時，f（x）取得最小值-

3

，
此時x的取值集合為{x|x=2kπ-

2π

3

（k∈Z）}；
（Ⅱ）先由y=sinx的圖象上的所有點的縱坐標變為原來的

3

倍，橫坐標不變，即為y=

3

sinx的圖象；
再由y=

3

sinx的圖象上的所有點向左平移

π

6

個單位，得到y=f（x）的圖象．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，熟練掌握公式是解本題的關鍵．