Question

設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x-sin(2x-

π

6

).
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，若cosB=

1

3

，f(

C

2

)=-

1

4

，且C為銳角，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
（2）把x=

c

2

代入函數(shù)解析式，求得sinC，進(jìn)而求得C，進(jìn)而根據(jù)cosB，求得sinB，代入到sinA=sin（B+C）中求得答案．

解答：解：（1）f(x)=

1-cos2x

2

-

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=

1

2

-

3

2

sin2x
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="gquoa02" class="MathJye">[

1- 3

2

，

1+ 3

2

]．
（2）f(

C

2

)=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，所以sinC=

3

2

，
因?yàn)镃為銳角，所以C=

π

3

.
又因?yàn)樵凇鰽BC中，cosB=

1

3

，所以sinB=

2

3

2

，
所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2

3

2

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

.

點(diǎn)評：本題主要考查了二倍角的正弦．解題的關(guān)鍵是對二倍角公式的熟練掌握．