Question

已知向量

a

=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，

b

=(

3

，2cosωx)，設函數f(x)=

a

•

b

(x∈R)的圖象關于直線x=

π

2

對稱，其中ω為常數，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標變為原來的

1

6

，再將所得圖象向右平移

π

3

個單位，縱坐標不變，得到y=h（x）的圖象，若關于x的方程h（x）+k=0在區間[0，

π

2

]上有且只有一個實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的數量積公式化簡函數，結合函數的圖象關于直線x=

π

2

對稱，且ω∈（0，1），即可求得函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）確定h（x）=2sin（2x-

π

3

），關于x的方程h（x）+k=0在區間[0，

π

2

]上有且只有一個實數解，等價于2sint+k=0在t∈[

π

3

，

2π

3

]上有且只有一個實數解，由此可得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，

b

=(

3

，2cosωx)，
∴f(x)=

a

•

b

=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•(

3

，2cosωx)=

3

cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+

π

3

）
∵函數圖象關于直線x=

π

2

對稱，∴2sin（πω+

π

3

）=±2
∴πω+

π

3

=kπ+

π

2

（k∈Z），即ω=k+

1

6

（k∈Z）
∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=

1

6

∴f（x）=2sin（

1

3

x+

π

3

）；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點的橫坐標變為原來的

1

6

，再將所得圖象向右平移

π

3

個單位，縱坐標不變，得到y=h（x）=2sin（2x-

π

3

）的圖象，
令2x-

π

3

=t，∵x∈[0，

π

2

]，∴t∈[

π

3

，

2π

3

]
∴關于x的方程h（x）+k=0在區間[0，

π

2

]上有且只有一個實數解，即2sint+k=0在t∈[

π

3

，

2π

3

]上有且只有一個實數解，
即y=2sint，t∈[

π

3

，

2π

3

]的圖象與y=-k有且只有一個交點，
∴-

3

＜k≤

3

或k=-2．

點評：本題考查向量的數量積運算，考查函數解析式的確定，考查圖象的變換，考查解的問題，確定函數的解析式是關鍵．