Question

已知點（1，2）是函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上一點，數列{a_n}的前n項和S_n=f（n）-1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設bn=

n

an+1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（I）把點（1，2）代入函數解析式中求得a，然后可得數列前n項和的表達式，進而利用a_n=S_n-S_n-1，求得a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=

n

2n

，利用錯位相減法，可求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）把點（1，2）代入函數f（x）=a^x，得a=2．…2分
所以Sn=f(n)-1=2n-1，
當n=1時，a1=S1=21-1=1；…3分
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1
經驗證可知n=1時，也適合上式，
∴an=2n-1．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：bn=

n

2n

，

Tn=1× 1 2 +2× 1 22 +…+(n-1)• 1 2n-1 +n• 1 2n 1 2 Tn=1× 1 22 +2× 1 23 +…+(n-1)• 1 2n +n• 1 2n+1

，
兩式相減可得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-n

1

2n+1

=1-(1+

n

2

)•(

1

2

)n，
所以Tn=2-

n+2

2n

．…12分．

點評：熟練掌握當n=1時，a₁=S₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1求a_n、等差數列和等比數列的前n項和公式是解題的關鍵．