Question

（理科）已知如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，E，F分別為棱DD₁，AB上的點（不含頂點）．則下列說法正確的是

 

．
①A₁C⊥平面B₁EF；
②△B₁EF在側面上的正投影是面積為定值的三角形；
③在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線；
④平面B₁EF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的大小與點E位置有關，與點F位置無關；
⑤當E，F分別為中點時，平面B₁EF與棱AD交于點P，則三棱錐P-DEF的體積為

1

72

．

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：由正方體的結構特征，對所給的幾個命題用線面，面面之間的位置關系直接判斷正誤即可得到答案．

解答： 解：對于①A₁C⊥平面B₁EF，不一定成立，因為A₁C⊥平面AC₁D，而兩個平面面B₁EF與面AC₁D不一定平行．

對于②△B₁EF在側面BCC₁B₁上 的正投影是面積為定值的三角形，此是一個正確的結論，因為其投影三角形的一邊是棱BB₁，而E點在面上的投影到此棱BB₁的距離是定值，故正確；
對于③在平面A₁B₁C₁D₁內總存在與平面B₁EF平行的直線，此兩平面相交，一個面內平行于兩個平面的交線一定平行于另一個平面，此結論正確；
對于④平面B₁EF在平面ABCD中的射影為△DFB，面積為定值，但△B₁EF的面積不定，故不正確；
對于⑤由面面平行的性質定理可得EQ∥B₁F，故D₁Q=

1

4

，B₁Q∥PF，故AP=

2

3

，所以三棱錐P-DEF的體積為

1

72

，故正確
故答案為：②③⑤．

點評：本題考點是棱柱的結構特征，考查對正方體的幾何特征的了解，以及線面垂直，線面平行等位置關系的判定，涉及到的知識點較多，綜合性強．