Question

【題目】設函數，若在區間上無零點，則實數的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】函數f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，x∈（﹣1，+∞）．

f′（x）=,

令g（x）=2ax2+ax﹣a+1．

（i）當a=0時，g（x）=1，此時f′（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增（ii）當a＞0時，△=a2﹣8a（1﹣a）=a（9a﹣8）．

①當0＜a≤時，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，無極值點．

②當a＞時，△＞0，設方程2ax2+ax﹣a+1=0的兩個實數根分別為x1，x2，x1＜x2．

當x∈（﹣1，x1）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；

當x∈（x1，x2）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；

當x∈（x2，+∞）時，g（x）＞0，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增．

①當0≤a≤時，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

∵f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0，符合題意．

②當 ＜a≤1時，由g（0）≥0，可得x2≤0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．

又f（0）=0，

∴x∈（0，+∞）時，f（x）＞0．

③當1＜a時，由g（0）＜0，可得x2＞0，

∴x∈（0，x2）時，函數f（x）單調遞減．

又f（0）=0，∴x∈（0，x2）時，f（x）＜0，x趨向于正無窮時函數值大于0，不符合題意，舍去；

④當a＜0時，設h（x）=x﹣ln（x+1），x∈（0，+∞），h′（x）=＞0．

∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增．

因此x∈（0，+∞）時，h（x）＞h（0）=0，即ln（x+1）＜x，

可得：f（x）＜x+a（x2﹣x）=ax2+（1﹣a）x，

當x＞1﹣時，

ax2+（1﹣a）x＜0，此時f（x）＜0，不合題意，舍去．

綜上所述，a的取值范圍為[0，1]．

故答案為：A．