Question

【題目】已知函數，.

若恒成立，求的取值范圍；

已知，是函數的兩個零點，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：構造，求導，算單調性，取最值情況法一：聯立方程組求解轉化為證明，設，求導證明結論；法二：要證，只需證，由單調性只需證，令證明結論

解析：令，有，當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得最大值，為，

若恒成立，則即.

方法一：，，

，

即

，

欲證：，只需證明，只需證明，

只需證明.

設，則只需證明，

即證：.

設，，

在單調遞減，，

，所以原不等式成立.

方法二：由（1）可知，若函數 有兩個零點，有，則，且，

要證，只需證，由于在上單調遞減，從而只需證，由，

只需證，

又，

即證

即證，.

令，，

有在上單調遞增，，.

所以原不等式成立.