Question

（本小題滿分12分）

已知橢圓的離心率為，直線經過橢圓的上頂點和右頂點，并且和圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線 與橢圓相交于，兩點，以線段, 為鄰邊作平行四邊行,其中頂點在橢圓上，為坐標原點，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及直線與橢圓的位置關系的綜合運用。

（1）因為橢圓的離心率為，直線經過橢圓的上頂點和右頂點，并且和圓相切.

結合橢圓的性質和線與圓的位置關系得到參數a,b,c的表達式，得到橢圓的方程。

（2）根據直線方程與橢圓方程聯立方程組，結合韋達定理表示出點P的坐標，然后點P在橢圓上得到參數的關系式，，利用m的范圍得到op 的范圍。

解：（1）由得，所以……………………1分

所以，有，解得………..5分

所以，所以橢圓方程為  …………………………….6分

（2），   消去得：

設

則， ，

故點…………………………………………………9分

點在橢圓上，有，整理得

所以，

而  ，………….11分

因為 ，所以，所以 ，

所以…………………………………………………………….12分