Question

f（x）=x-lnx
（1）求y=f（x）的單調區間；
（2）若g（x）=x-alnx在[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）在定義域內解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到單調增、減區間；
（2）g（x）=x-alnx在[1，+∞）上單調遞增，等價于g′（x）≥0恒成立，分離參數后轉化為求函數的最值；

解答： 解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）的單調遞減求解是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞）；
（2）g′（x）=1-

a

x

，
g（x）=x-alnx在[1，+∞）上單調遞增，等價于g′（x）≥0恒成立，即a≤x恒成立，
∵x≥1，∴a≤1．

點評：該題考查利用導數研究函數的單調性、函數恒成立，轉化為求函數的最值是解決恒成立問題的常用方法．