Question

【題目】如圖所示的多面體中，AD⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，F為線段PB上的一點，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．

（Ⅰ）試確定點F的位置，使得直線EF∥平面PDC；

（Ⅱ）若PB＝3BF，求直線AF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當點F為BP中點時，使得直線EF∥平面PDC；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）設F為BP中點，取AP中點G，連結EF、EG、FG，推導出GF∥AB∥CD，EG∥DP，從而平面GEF∥平面PDC，進而當點F為BP中點時，使得直線EF∥平面PDC．

（Ⅱ）以D為原點，DC為x軸，在平面PDC中過D作CD垂線為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標系，求得平面PBC的一個法向量，的坐標，代入公式sinθ求解．

（Ⅰ）設F為BP中點，取AP中點G，連結EF、EG、FG，

∵AD⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD的中點，

∴GF∥AB∥CD，EG∥DP，

∵EG∩FG＝G，DP∩CD＝D，∴平面GEF∥平面PDC，

∵EF平面GEF，

∴當點F為BP中點時，使得直線EF∥平面PDC．

（Ⅱ）以D為原點，DC為x軸，在平面PDC中過D作CD垂線為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標系，

∵E為AD的中點，F為線段PB上的一點，∠CDP＝120°，AD＝3，AP＝5，．

∴cos120°，解得CD＝2，

所以A（0，0，3），B（2，0，3），P（﹣2，2，0），C（2，0，0），

設F（a，b，c），由PB＝3BF，得，

即（a﹣2，b，c﹣3）（﹣8，2，﹣3），

解得a，b，c＝2，∴F（，，2），

（，﹣1），（0，0，3），（﹣4，2，0），

設平面PBC的一個法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，，0），

設直線AF與平面PBC所成角為θ，

則直線AF與平面PBC所成角的正弦值為：

．