Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=-na_n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）設等比數列{a_n}的首項為a₁，且公比為q＞1，由等比中項列出式子求出a₃的值，代入已知的式子化簡，再由通項公式列出關于首項和公比的方程，求出a₁和q，代入通項公式即可；
（2）由（1）和題求出b_n，再根據特點利用錯位相減法求出前n項和S_n．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的首項為a₁，且公比為q＞1．
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，代入a₂+a₃+a₄=28，得a₃=8，
∴a₂+a₄，=20，則

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，
解得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

（舍去），
∴an=2n，
（2）由（1）得，b_n=-na_n=-n•2ⁿ，
∴Sn=-(1×2+2×22+3×23+…+n×2n)，
即-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n   ①
-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1  ②
①-②得，Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2．

點評：本題考查了等比數列的通項公式和前n項和公式的應用，以及錯位相減法求數列的前n項和，考查了計算能力．