Question

已知單調遞增的等比數列a_n滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂、a₄的等差中項，則數列a_n的前n項和S_n=

 

．

Answer 1

分析：先設出等比數列的首項和公比，然后利用等比數列的通項公式化簡a₂+a₃+a₄=28得到①，根據a₃+2是a₂、a₄的等差中項列出式子化簡得②，聯立①②可解出a和q，然后根據等比數列的前n項和的公式求出即可．

解答：解：設出等比數列的首項為a，公比為q，則a_n=aqⁿ，
因為a₂+a₃+a₄=28得到aq+aq²+aq³=28①；又a₃+2是a₂、a₄的等差中項得到2（aq²+2）=aq+aq³②．
由①得：aq（1+q+q²）=28③，由②得：aq²=8，aq+aq³=20即aq（1+q²）=20④
③④兩邊相除得：

1+q+q2

1+q2

=

7

5

，化簡得：2q²-5q+2=0即（2q-1）（q-2）=0，所以q=

1

2

或q=2，
因為此數列為單調遞增數列，所以q=2，代入①求得a=2，
則數列a_n的前n項和S_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．
答案為2ⁿ⁺¹-2

點評：此題是一道綜合題，要求學生會根據題中的兩個條件列出關于首項和公比的方程并求出解，靈活運用等比數列的前n項和的公式化簡求值．