Question

已知單調遞增的等比數列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog 

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，對任意正整數n，S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，根據2（a₃+2）=a₂+a₄，可求得a₃．進而求得a₂+a₄=20．兩式聯立方程即可求得a₁和q的值，最后根據等比數列的通項公式求得a_n．
（2）把（1）中的a_n代入b_n，再利用錯位相減法求得S_n，再由S_n+（n+m）a_n+1＜0恒成立進而求得m的范圍．

解答：解：（1）設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q．
依題意，
有2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，
得a₃=8．
∴a₂+a₄=20．
∴

a1q+a1q3=20  a3=a1q2=8

解之得

q=2 a1=2

，或

q= 1 2 a1=32

又{a_n}單調遞增，
∴q=2，a₁=2，∴a_n=2ⁿ，
（2）b_n=2ⁿ•log

1

2

2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴-S_n=1×2+2×2²+3×2³++n×2ⁿ①
-2S_n=1×2²+2×2³++（n-1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得，S_n=2+2²+2³++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹
由S_n+（n+m）a_n+1＜0，
即2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺¹+m•2ⁿ⁺¹＜0對任意正整數n恒成立，
∴m•2ⁿ⁺¹＜2-2ⁿ⁺¹．
對任意正整數n，
m＜

1

2n

-1恒成立．
∵

1

2n

-1＞-1，∴m≤-1．
即m的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題主要考查等比數列的性質．本題考查了學生綜合運算的能力．