Question

已知函數的定義域為，若在上為增函數，則稱為“一階比增函數”；若在上為增函數，則稱為“二階比增函數”.我們把所有“一階比增函數”組成的集合記為，所有“二階比增函數”組成的集合記為.
(Ⅰ)已知函數，若且，求實數的取值范圍；
(Ⅱ)已知，且的部分函數值由下表給出，
 求證：；
(Ⅲ)定義集合
請問：是否存在常數，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（I）(Ⅱ)見解答(Ⅲ).

試題分析：（I）理解且的意義,代入后利用函數的性質求解; (Ⅱ)通過表格得到 ，再運用為增函數建立不等式，導出，運用 即可. (Ⅲ)判斷 即運用反證法證明,如果使得則利用即為增函數一定可以找到一個，使得，對成立;同樣用反證法證明證明在上無解;從而得到，對成立,即存在常數，使得，，有成立,選取一個符合條件的函數判斷 的最小值是 ,由上面證明結果確定 即是符合條件的所有函數的結果.
試題解析：（I）因為且，
即在是增函數，所以        2分
而在不是增函數，而 
當是增函數時，有，所以當不是增函數時，.
綜上得       4分
(Ⅱ) 因為，且 
所以，
所以，
同理可證，
三式相加得 
所以                                                    6分
因為所以 
而，所以 
所以                                          8分
(Ⅲ) 因為集合 且存在常數 ,使得任取 
所以，存在常數 ，使得  對成立
我們先證明對成立
假設使得，
記 
因為是二階增函數，即是增函數.
所以當時，，所以 
所以一定可以找到一個，使得 
這與  對成立矛盾                                11分
對成立
所以，對成立
下面我們證明在上無解
假設存在，使得，
則因為是二階增函數，即是增函數
一定存在，這與上面證明的結果矛盾
所以在上無解
綜上，我們得到，對成立
所以存在常數，使得，，有成立
又令，則對成立，
又有在上是增函數，所以，
而任取常數，總可以找到一個，使得時，有 
所以的最小值為.                                         14分