Question

如圖所示的兩個同心圓盤均被等分（且），在相重疊的扇形格中依次同時填上，內圓盤可繞圓心旋轉，每次可旋轉一個扇形格，當內圓盤旋轉到某一位置時，定義所有重疊扇形格中兩數之積的和為此位置的“旋轉和”.
（1）求個不同位置的“旋轉和”的和；
（2）當為偶數時，求個不同位置的“旋轉和”的最小值；
（3）設，在如圖所示的初始位置將任意對重疊的扇形格中的兩數均改寫為0，證明：當時，通過旋轉，總存在一個位置，任意重疊的扇形格中兩數不同時為0.

Answer 1

（1）；（2） 最小值；（3）詳見解析.

試題分析：（1）個不同位置的“旋轉和”的和，就是將所有位置的旋轉相加，故內盤中的任一數都會和外盤中的每個數作積；（2）設內盤中的和外盤中的同扇形格時的“旋轉和”為；設內盤中的和外盤中的同扇形格時的“旋轉和”為；依次下去，設內盤中的和外盤中的同扇形格時的“旋轉和”為；這樣便得一個數列.這樣問題轉化為求該數列的最小值.求數列的最值，首先研究數列的單調性，而研究數列的單調性，就是研究相鄰兩項的差的符號，即研究的符號；（3）顯然直接證明有點困難，故采用反證法.由于該問題只涉及0與非0的問題，故可將圖中所有非數改寫為，這樣共有個0，個1.假設任意位置，總存在一個重疊的扇形格中兩數同時為，則此位置的“旋轉和”必大于或等于，初始位置外的個位置的“旋轉和”的和為，則有，即，這與矛盾，故命題得證．
試題解析：（1）由于內盤中的任一數都會和外盤中的每個作積，故個不同位置的“旋轉和”的和為

；     3分
（2）設內盤中的和外盤中的同扇形格時的“旋轉和”為
則


            5分
所以當時，，當時，，所以時，最小
最小值
；        8分
（3）證明：將圖中所有非數改寫為，現假設任意位置，總存在一個重疊的扇形格中兩數同時為，則此位置的“旋轉和”必大于或等于，初始位置外的個位置的“旋轉和”的和為
，則有，即，這與矛盾，故命題得證．    12分