Question

【題目】已知動點M（x，y）滿足，點M的軌跡為曲線E.

（1）求E的標準方程；

（2）過點F（1,0）作直線交曲線E于P,Q兩點，交軸于R點，若，證明：為定值.

Answer 1

【答案】(1);(2)-4.

【解析】分析：（Ⅰ）由，根據橢圓的定義可得點的軌跡是以為焦點的橢圓，可求得，從而可得曲線的方程；（II）設，由，點在曲線上可得…，①同理可得…，②，由①②可得是方程的兩個根，為定值.

詳解：（Ⅰ）由，

可得點M（x，y）到定點A（﹣1，0），B（1，0）的距離等于之和等于．

且AB，所以動點N的軌跡是以C（﹣1，0），A（1，0）為焦點的橢圓，

且長軸長為，焦距2c=2，所以，c=1，b=1，曲線E的方程為：；

（Ⅱ）法1：設P（x1，y1），Q（x2，y2），R（0，y0），

由，（x1，y1﹣y0）=λ1（1﹣x1，﹣y1），∴，

∵過點F（1，0）作直線l交曲線E于P，∴，

∴…①

同理可得：…②

由①②可得λ1、λ2是方程x2+4x+2﹣2y02=0的兩個根，∴λ1+λ2為定值﹣4．

法2：依題意得的斜率一定存在，設斜率為k，

則直線方程為代入橢圓方程得：

設，則，

由得：得

同理得：

則為定值。