Question

已知z是復(fù)數(shù)，z+3i、

z

3-i

均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）求一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)z=x+yi（x、y∈R），根據(jù)z+3i、

z

3-i

均為實(shí)數(shù)可求出x與y的值，從而求出所求；
（2）若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根z=9-3i，則必有共軛虛根

.

z

=9+3i，求出z+

.

z

與z•

.

z

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得一個(gè)以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．

解答：解：（1）設(shè)z=x+yi（x、y∈R），
z+3i=x+（y+3）i，由題意得 y=-3．…（3分）

z

3-i

=

x-3i

3-i

=

1

10

(3x+3)+

1

10

(x-9)i
由題意得x=9．∴z=9-3i．…（7分）
（2）若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根z=9-3i，則必有共軛虛根

.

z

=9+3i．…（10分）
z+

.

z

=18，z•

.

z

=90，…（12分）
∴所求的一個(gè)一元二次方程可以是x²-18x+90=0．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，以及根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)考查了共軛復(fù)數(shù)等基本概念，屬于基礎(chǔ)題．