Question

若a＞0，b＞0，a+b=2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．
①ab≤1；
②

a

+

b

≤

2

；
③a²+b²≥2；
④a³+b³≥3；
⑤

1

a

+

1

b

≥2．

Answer 1

分析：首先對于此類填空題需要一個一個判斷，用排除法求解，對于命題②④直接用特殊值法代入排除，其他命題用基本不等式a+b≥2

ab

代入求解即可判斷．

解答：解：對于命題①ab≤1：由2=a+b≥2

ab

?ab≤1，命題①正確；
對于命題②

a

+

b

≤

2

：令a=1，b=1時候不成立，所以命題②錯誤；
對于命題③a²+b²≥2：a²+b²=（a+b）²-2ab=4-2ab≥2，命題③正確；
對于命題④a³+b³≥3：令a=1，b=1時候不成立，所以命題④錯誤；
對于命題⑤

1

a

+

1

b

≥2：

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

=

2

ab

≥2，命題⑤正確．
所以答案為①，③，⑤．

點評：此題主要考查基本不等式的求解問題，對于此類判斷命題真假的題目，包含知識點較多需要一個一個分析，容易出錯，屬于中檔題目．