Question

已知函數f（x）=3e^|x|+a（e=2.71828…是自然對數的底數）的最小值為3．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）已知b∈R且x＜0，試解關于x的不等式 lnf（x）-ln3＜x²+（2b-1）x-3b²；
（Ⅲ）已知m∈Z且m＞1．若存在實數t∈[-1，+∞），使得對任意的x∈[1，m]，都有f（x+t）≤3ex，試求m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由3e^|x|的最小值為3，可得函數f（x）的最小值為3+a=3，由此求得a的值．
（Ⅱ）由f（x）=3e^|x|，x＜0，可得lnf（x）=-x+ln3．不等式化為-x＜x²+（2b-1）x-3b²，即（x+3b）（x-b）＞0．再分當b≥0時，和b＜0時兩種情況，分別求得不等式的解集．
（Ⅲ）由題意可得x+t≥0，f（x+t）≤3ex，等價于 t≤1+lnx-x．原命題等價轉化為：存在實數t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x對任意x∈[1，m]恒成立．再利用導數求得h（x）=1+lnx-x的最小值為h（x）_min=h（m）=1+lnm-m，由此求得h（m）≥-1的最大整數m的值．

解答：解：（Ⅰ）由于函數f（x）=3e^|x|+a≥3e⁰+a=3+a （e=2.71828…是自然對數的底數），
且函數的最小值為3，
故有3+a=3，∴a=0．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=3e^|x|．
當x＜0時，lnf（x）=ln（3e^|x|）=ln3+|x|=-x+ln3．
故不等式 lnf（x）-ln3＜x²+（2b-1）x-3b² 可化為-x＜x²+（2b-1）x-3b²，
即 x²+2bx-3b²＞0，即（x+3b）（x-b）＞0．
故當b≥0時，不等式的解集為{x|x＜-3b }； b＜0時，不等式的解集為{x|x＜b}．
（Ⅲ）∵當t∈[-1，+∞）且x∈[1，m]時，x+t≥0，
∴f（x+t）≤3ex，等價于e^x+t≤ex，等價于 t≤1+lnx-x．
∴原命題等價轉化為：存在實數t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x對任意x∈[1，m]恒成立．
令h（x）=1+lnx-x（x＞0）．
∵h′(x)=

1

x

-1≤0，∴函數h（x）在（0，+∞）為減函數．
又∵x∈[1，m]，∴h（x）_min=h（m）=1+lnm-m．
∴要使得對x∈[1，m]，t值恒存在，只須1+lnm-m≥-1．
∵h(3)=ln3-2=ln(

1

e

•

3

e

)＞ln

1

e

=-1，h(4)=ln4-3=ln(

1

e

•

4

e2

)＜ln

1

e

=-1，且函數h（x）在（0，+∞）為減函數，
∴滿足條件的最大整數m的值為3．

點評：本題主要考查指數不等式、對數不等式的解法，函數的恒成立問題，利用導數研究函數的單調性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．