Question

【題目】在三棱錐中，平面平面，，，，.

（1）證明：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）利用面面垂直，可證平面，從而有，再利用勾股定理證明，可證平面，證得結論.

（2）先證得平面平面，過點作于點，有平面，可證明是與平面所成的角，在△ABC中，求得，可得，由等面積法知，即可求解直線與平面所成角的正弦值.

（1）由題意平面平面，平面，平面平面=AC，

又，，

∴，

∴平面，從而有，

又由勾股定理得，，

∴平面，即；

（2）設，則，

在中，，即.

故，，

過作于點，連接，過點作于點，

連接，因為且，

故平面，

又因為平面，所以平面平面，

進而有平面，

故是與平面所成的角，

在中，有，得，

故，，

由等面積法知，

所以，

故直線與平面所成角的正弦值為.