Question

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，滿足。

（1）求曲線的方程；

（2）直線與曲線交于兩不同點(diǎn),（ 非原點(diǎn)），過,兩點(diǎn)分別作曲線的切線，兩切線的交點(diǎn)為。設(shè)線段的中點(diǎn)為，若，求直線的斜率.

Answer 1

【答案】（1）（2）k=

【解析】

（1）將坐標(biāo)化，化簡(jiǎn)求得結(jié)果.

（2）設(shè)直線的方程為： ，與拋物線方程聯(lián)立得，由韋達(dá)定理求得中點(diǎn)N的坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得過點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，得到,所以MN中點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，即2，進(jìn)而求得k.

（1）由得：

化簡(jiǎn)得曲線的方程為.

（2）由題意可知直線l的斜率存在，

設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立得：

設(shè)，，則，

設(shè)，則，

又曲線的方程為，即y=,=，

∴過點(diǎn)的切線斜率為，切線方程為y-，即y=

同理，過點(diǎn)的切線方程為y=，

聯(lián)立兩切線可得交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以,又因?yàn)?/span>，所以MN中點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，即2

,k=,故直線的斜率為k=