Question

【題目】已知拋物線C： ，點在x軸的正半軸上，過點M的直線與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點．

（1）若，且直線的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；

（2）是否存在定點M，使得不論直線繞點M如何轉動， 恒為定值？

Answer 1

【答案】（1）以AB為直徑的圓的方程是；（2）存在定點，滿足題意．

【解析】試題分析：（1）由題意得，直線的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理，可得圓心坐標和圓的半徑，從而可得圓的方程．

（2）若存在定點這樣的點，使得恒為定值；直線： 與拋物線C： 聯立，計算,，利用恒為定值，可求出點的坐標．

試題解析：（1）當時， ，此時，點M為拋物線C的焦點，

直線的方程為，設，聯立，

消去y得， ，∴， ，∴圓心坐標為．

又，∴圓的半徑為4，∴圓的方程為．

（2）由題意可設直線的方程為，則直線的方程與拋物線C： 聯立，

消去x得： ，則， ，

對任意恒為定值，

于是，此時．

∴存在定點，滿足題意．