Question

設橢圓的方程為＝1（m，n>0），過原點且傾角為θ和π－θ（0＜θ＜＝的兩條直線分別交橢圓于A、C和B、D兩點，

（Ⅰ）用θ、m、n表示四邊形ABCD的面積S；

（Ⅱ）若m、n為定值，當θ在（0，］上變化時，求S的最小值u；

（Ⅲ）如果μ>mn，求的取值范圍.

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）設經過原點且傾角為θ的直線方程為y=xtanθ，可得方程組又由對稱性，得四邊形ABCD為矩形，同時0＜θ＜，所以四邊形ABCD的面積S＝4|xy|＝． （Ⅱ）S＝． （1）當m>n，即＜1時，因為＋m2tanθ≥2nm，當且僅當tan2θ＝時等號成立，所以． 由于0＜θ≤，0＜tanθ≤1， 故tanθ＝得u＝2mn． （2）當m<n，即>1時，對于任意0＜θ1＜θ2≤， 由于 ． 因為0＜tanθ1＜tanθ2≤1，m2tanθ1tanθ2－n2＜m2－n2＜0，所以（m2tanθ2＋）－（m2tanθ1＋）＜0，于是在（0，］上，S＝是θ的增函數，故取θ＝，即tanθ＝1得u＝． 所以u＝ （Ⅲ）（1）當>1時，u=2mn>mn恒成立. （2）當<1時， >1，即有（）2－4（）+1<0， 所以，又由<1， 得. 綜上，當u>mn時，的取值范圍為（2－，1）∪（1，＋∞）．