Question

設橢圓的方程為＋＝1(m、n＞0)，過原點且傾角為θ和π－θ(0＜θ＜)的兩條直線分別交橢圓于A、C和B、D兩點． (1) 用θ、m、n表示四邊形ABCD的面積S (2) 若m、n為定值，當θ在(0，］上變化時，求S的最大值u (3) 如果u＞mn，求的取值范圍

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：設經過原點且傾角為的直線方程為y＝xtan可得方程組又由對稱性，得四邊形ABCD為矩形，同時0＜＜，所以四邊形ABCD的面積S＝4｜xy｜＝．
(2)	S＝． 　　①當m＞n，即＜1時，因為＋m2tan≥2nm，當且僅當tan2＝時，等號成立，所以S＝≤＝2mn． 　　由于0＜≤，0＜tan≤1，故tan＝得u＝2mn． 　　②當m＜n，即＞1時，對于任意0＜1＜2≤，由于(m2tan2＋)－(m2tan1＋)＝(tan2－tan1)． 　　因為0＜tanl＜tan2≤1，m2tan1tan2－n2＜m2－n2＜0，所以(m2tan2＋)－(m2tan1＋)＜0．于是在(0，)上，S＝ 是的增函數，故取＝，即tan＝1得u＝． 　　所以u＝
(3)	①當＞1時，u＝2mn＞mn恒成立． 　　②當＜1時，＝＞1，即有()2－4()＋1＜0，所以2－＜＜2＋． 　　又由＜1，得2－＜＜1． 　　綜上，當u＞mn時，的取值范圍為(2＜，1)∪(1，＋∞)． 　　點評：本題主要考查橢圓的對稱性及不等式的應用，通過求最大值來考查邏輯思維能力和應用能力，同時體現分類討論思想．