Question

設橢圓C₁的方程為＝1，(a＞b＞0)．曲線C₂的方程為y＝．且C₁與C₂在第一象限內只有一個公共點P．

(1)試用a表示點P的坐標；

(2)設A，B是橢圓C₁的兩個焦點，當a變化時，求△ABP的面積函數S(a)的值域；

(3)記min{y₁，y₂…y_n}為y₁，y₂…y_n中最小的一個，設g(a)是以橢圓C₁的半焦距為邊長的正方形的面積，試求函數f(a)＝min{g(a)，S(a)}的表達式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)將y＝代入橢圓方程得：＋＝1．代而得：b2x4－a2b2x2＋a2＝0．由條件，有△＝a4b4－4a2b2＝0．得ab＝2，于是可由方程解得：x＝，x＝－(舍去)．故P的坐標為(，) 　　(2)在△ABP中，底邊｜AB｜＝2，高為 　　∴S(a)＝·2×＝ 　　∵a＞b＞0，b＝， 　　∴a＞即a＞，得0＜＜1 　　∴0＜S(a)＜ 　　(3)．g(a)＝c2＝a2－b2＝a2－ 　　解不等式g(a)≥S(a)，即a2－≥，a8－10a4＋24≥0，a4≥6或a4≤4，a≤(舍)或a≥故f(a)＝min{g(a)，S(a)}＝．