Question

【題目】已知.

（1）已知是導函數，求的極值；

（2）設，若有兩個零點，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 極小值為 (2)

【解析】

（1）先求出，再利用導數求的極值；（2）先求出,再對a分a＞0，a=0，a＜0三種情況，根據函數g(x)有兩個零點求出a的取值范圍.

解：（1）

①若，顯然所以在R上遞增，所以沒有極值.

②若，則，

所以在上是減函數，在上是增函數．

所以在處取極小值，極小值為

（2）.函數的定義域為R，

且.

①若，則.

所以在上是減函數，在上是增函數．

所以.

令，則.

顯然，所以在上是減函數.

又函數在上是減函數，取實數，

則

又在上是減函數，在上是增函數．

由零點存在性定理，在，上各有一個唯一的零點．所以符合題意．

②若，則，顯然僅有一個零點1，所以不符合題意.

③若，則.

（i）若，則，此時，

即在R上遞增，至多只有一個零點，

所以不符合題意，

（ii）若，則，函數在上是增函數，

在上是減函數，在上是增函數，

所以在處取得極大值，且極大值，

所以最多有一個零點，所以不符合題意．

（iii）若，則，函數在和上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值，且極大值為，所以最多有一個零點，所以不符合題意.

綜上所述，a的取值范圍是