Question

【題目】已知橢圓，、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線，過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，由，解得，再結(jié)合橢圓的定義，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）可設(shè)直線，聯(lián)立方程組，求得，利用弦長公式，求得和的長，進(jìn)而得到，利用基本不等式，求得的值，即可求解.

（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)，則，解得，

所以，則由橢圓定義，∴，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由題意直線的斜率必定不為零，于是可設(shè)直線，

聯(lián)立方程得，

∵直線交橢圓于，，

∴

由韋達(dá)定理，

則，∴

∵，∴，∴

又

∴

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).

此時(shí)直線的方程為或.