Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距為4，設右焦點為F₁，離心率為e．
（1）若e=

2

2

，求橢圓的方程；
（2）設A、B為橢圓上關于原點對稱的兩點，AF₁的中點為M，BF₁的中點為N，若原點O在以線段MN為直徑的圓上．
①證明點A在定圓上；
②設直線AB的斜率為k，若k≥

3

，求e的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的焦距為4，e=

2

2

，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）①設出A的坐標，利用AF₁的中點為M，BF₁的中點為N，求出M、N的坐標，根據原點O在以線段MN為直徑的圓上，可得OM⊥ON，從而可得結論；
②直線方程與橢圓、圓聯立，表示出k，根據k≥

3

，即可求e的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，

c=2 c a = 2 2

，∴c=2，a=2

2

，∴b=

a2-c2

=2
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）①證明：設A（x，y）則B（-x，-y）
因為橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1，所以右焦點F₁（2，0），M（

x+2

2

，

y

2

），N（

-x+2

2

，-

y

2

），
∵原點O在線段MN為直徑的圓上，∴OM⊥ON，
∴

x+2

2

•

-x+2

2

-

y

2

•

y

2

=0，
∴x²+y²=4，∴點A在定圓上．
②解：由

y=kx x2 a2 + y2 b2 =1 x2+y2=4

，可得

x2 a2 + (kx)2 b2 =1 x2+(kx)2=4

，∴

1

a2

+

k2

b2

=

1

4

(1+k2)
將e=

c

a

=

2

a

，b²=a²-c²=

4

e2

-4，代入上式可得k2=

e4-2e2+1

2e2-1

∵k≥

3

，∴k2=

e4-2e2+1

2e2-1

≥3
∴

e4-8e2+4

2e2-1

≥0
∵0＜e＜1
∴

2

2

＜e≤

3

-1．

點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與橢圓位置關系的綜合運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．