Question

設函數y=f（x）是定義域為R 的奇函數，且滿足f(x-2)=-f(x)對一切x∈R恒成立，當

-1≤x≤1時，f(x)=x³。則下列四個命題：①f(x)是以4為周期的周期函數；②f(x)在[1，3]上的解析式為f(x)=(2-x)³；③f(x)在處的切線方程為3x+4y-5=0；④f(x)的圖像的對稱軸中有x=±1.其中正確的命題是          （    ）

       A．① ② ③    B．② ③  ④     C．① ③ ④       D．① ② ③ ④

Answer 1

D

解析:

∵f(x-2)=-f(x)對一切x∈R恒成立，∴f(x)=- f(x-2)=-[ - f(x-2-2)]= f(x-4)，∴ f(x+4)= f(x+4-4)= f(x)，因此f(x)是以4為周期的周期函數，①正確；當x∈[1，3]時，2-x∈[-1，1]，因此f(x)=- f(x-2)= f(2-x)= (2-x)³，②正確；由∈[1，3]，知f(x)=(2-x)³，，又，故切線方程為，即，③正確；

由f(x-2)=-f(x)= f(-x)得f(-1-x)=f(-1+x)，所以f(x)的圖像的有對稱軸x=-1，

由f(x+2)=-f(x+2-2)=-f(x)得，f(1-x)=f(1+x) 所以f(x)的圖像的有對稱軸x= 1，

所以④正確，選擇D