Question

設函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，又當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，則下列五個命題：
①函數y=f（x）是以4為周期的周期函數；
②當x∈[1，3]時，f（x）=（ x-2）³；
③直線x=±1是函數y=f（x）圖象的對稱軸；
④點（2，0）是函數y=f（x）圖象的對稱中心；
⑤函數y=f（x）在點（

3

2

，f（

3

2

））處的切線方程為3x-y-5=0．
其中正確的是

①③

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：①根據f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）；
②設x∈[1，3]，則x-2∈[-1，1]，根據x∈[-1，1]時，f（x）=x³，可得f（x-2）=（ x-2）³，從而可得f（x）=-（ x-2）³；
③∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x-2）=-f（x），可得f（x-2）=f（-x），從而直線x=-1是函數y=f（x）圖象的對稱軸，由于函數為奇函數，所以直線x=1也是函數y=f（x）圖象的對稱軸；
④根據f（x-2）=-f（x），可得f（x-2）+f（x）=0；
⑤由②知f（x）=-（ x-2）³，求出導函數，從而求出切線斜率與切點的坐標，從而可得切線方程．

解答：解：①，∵f（x-2）=-f（x）對一切x∈R都成立，∴f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函數y=f（x）是以4為周期的周期函數，故①正確；
②，設x∈[1，3]，則x-2∈[-1，1]，∵當x∈[-1，1]時，f（x）=x³，∴f（x-2）=（ x-2）³，∵f（x-2）=-f（x）
∴-f（x）=（ x-2）³，∴f（x）=-（ x-2）³，故②不正確；
③，∵函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，且f（x-2）=-f（x），∴f（x-2）=f（-x），∴直線x=-1是函數y=f（x）圖象的對稱軸，由于函數為奇函數，所以直線x=1也是函數y=f（x）圖象的對稱軸，故③正確；
④，∵f（x-2）=-f（x），∴f（x-2）+f（x）=0，∴點（1，0）是函數y=f（x）圖象的對稱中心，故④不正確；
⑤，由②知f（x）=-（ x-2）³，則f′（x）=-3（ x-2）²，∴f′（

3

2

）=-3（ 

3

2

-2）²=-

3

4

，又f（

3

2

）=

1

8

∴函數y=f（x）在點（

3

2

，f（

3

2

））處的切線方程為y-

1

8

=-

3

4

(x-

3

2

)，即3x+4y-5=0，故⑤不正確．
綜上知，正確的是①③
故答案為：①③

點評：本題綜合考查函數的性質，考查函數的周期性，對稱性，考查曲線的切線，涉及知識點多，解題需要謹慎．