Question

已知二次函數(shù)g(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足g(x-1)+g(1-x)=x²-2x-1，且g(1)=-1，f(x)=g(x+)+mlnx+(m∈R，x＞0)，
(1)求g(x)的表達(dá)式；
(2)若x＞0使f(x)≤0成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(3)設(shè)1＜m≤e，H(x)=f(x)-(m+1)x，證明：對(duì)x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H(x₁)-H(x₂)|＜1．

Answer 1

解：(1)設(shè)g(x)=ax²+bx+c(a≠0)，
于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)²+2c=(x-1)²-2，
所以，
又g(1)=-1，則，
所以。
(2)，
當(dāng)m＞0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f(x)的值域?yàn)镽；
當(dāng)m=0時(shí)，對(duì)，f(x)＞0恒成立；
當(dāng)m＜0時(shí)，由，
列表如下：

這時(shí)，，
，
所以若，f(x)＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-e，0]；
故若使f(x)≤0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞，-e]∪(0，+∞)。
(3)因?yàn)閷?duì)，，
所以H(x)在[1，m]內(nèi)單調(diào)遞減，
于是，
，
記，
則h′(m)=，
所以函數(shù)在(1，e]內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，
所以h(m)≤h(e)=，故原命題成立．