Question

已知二次函數g(x)對任意實數x都滿足g(x-1)+g(1-x)=x²-2x-1，且g(1)=-1，令f(x)=g(x+)+mlnx+（m∈R），
(Ⅰ)求g(x)的表達式；
(Ⅱ)若x＞0使f(x)≤0成立，求實數m的取值范圍；
(Ⅲ)設1＜m≤e，H(x)=f(x)-(m+1)x，證明：對x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H(x₁)-H(x₂)|＜1。

Answer 1

解：(Ⅰ)設g(x)=ax²+bx+c，
于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)²+2c=2(x-1)²-2，
所以，
又g(1)=-1，則b=，
所以。
(Ⅱ)，
當m＞0時，由對數函數性質，f(x)的值域為R；
當m=0時，對恒成立；
當m＜0時，由，
列表：

這時，，
，
所以若恒成立，則實數m的取值范圍是；
故x＞0使f(x)≤0成立，實數m的取值范圍是。
(Ⅲ)因為對，
所以H（x）在[1，m]內單調遞減，
于是，
，
記，
則，
所以函數在(1，e]是單調增函數，
所以，，故命題成立。