Question

已知函數f(x)=

x

3x+1

，對于數列{a_n}有a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，且n≥2），如果a₁=1，那么a₂=

 

，a_n=

 

．

Answer 1

分析：由函數f(x)=

x

3x+1

及數列{a_n}有a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，且n≥2），我們不難由此得到數列的遞推公式，再由a₁=1，代入即可求出a₂的值，并由遞推公式不難得到數列的通項公式．

解答：解：∵函數f(x)=

x

3x+1

且數列{a_n}有a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，且n≥2），
∴a_n=

an-1

3an-1+1

由a₁=1，則a₂=

1

3+1

=

1

4

由_n=

an-1

3an-1+1

得
3a_n•a_n-1=a_n-1-a_n
即

1

an

-

1

an-1

=3
故數列{

1

an

}是以一個以1為首項，以3為公差的等差數列
則

1

an

=3n-2
則a_n=an=

1

3n-2

（n∈N^*）
故答案為：

1

4

，an=

1

3n-2

（n∈N^*）

點評：如果一個數列的遞推公式滿足ka_n•a_n-1=a_n-1-a_n，則表示數列{

1

an

}是以一個以

1

a1

為首項，以k為公差的等差數列．