Question

【題目】設函數．

（1）討論的單調性；

（2）若有兩個極值點和，記過點，的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）不存在

【解析】分析：（1）求得導函數，判斷二次方程的根的情況得出＝0的解及在上的正負值變化，從而得單調性；

（2）假設存在，由（1）知，先表示出化簡為，從而，再由消元，（），設出新函數，通過導數研究出此方程無解，因此得不存在．

詳解： (1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.

令g(x)＝x2－ax＋1，則方程x2－ax＋1＝0的判別式Δ＝a2－4.

①當|a|≤2時，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

②當a<－2時，Δ>0，g(x)＝0的兩根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f′(x)>0，

故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

③當a>2時，Δ>0，g(x)＝0的兩根為x1＝，x2＝，

當0<x<x1時，f′(x)>0；當x1<x<x2時，f′(x)<0；當x>x2時，f′(x)>0，

故f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增，在(x1，x2)上單調遞減．

(2)由(1)知，a>2.

因為f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，

所以k＝＝1＋－a·.

又由(1)知，x1x2＝1.于是k＝2－a·.

若存在a，使得k＝2－a.則＝1.

即ln x1－ln x2＝x1－x2.

亦即x2－－2ln x2＝0(x2>1)．　(*)

再由(1)知，函數h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上單調遞增，而x2>1，

所以x2－－2ln x2>1－－2ln 1＝0.這與(*)式矛盾．

故不存在a，使得k＝2－a.