Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線與橢圓交于、兩點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：設|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1構成以A為直角頂點的等腰直角三角形，則|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，再由橢圓的定義和周長的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得，開方得答案．

詳解：如圖，設|F1F2|=2c，|AF1|=m，

若△ABF1構成以A為直角頂點的等腰直角三角形，

則|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，

由橢圓的定義可得△ABF1的周長為4a，

即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，

則|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，

在直角三角形AF1F2中，

|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，

即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，

∴c2=（9﹣6）a2，

則e2==9﹣6=，

∴e=．

故答案為：．