Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45，點E、F分別為棱AB、PD的中點．

（1）求證：AF∥平面PCE；
（2）求三棱錐C－BEP的體積．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）三棱錐的體積為.

試題分析：（1）求證：∥平面，證明線面平行，首先證明線線平行，可用三角形的中位線平行，也可用平行四邊形的對邊平行，本題欲證∥平面，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證與平面內一直線平行，取的中點，連接，易證，從而得∥平面；（2）求三棱錐的體積，三棱錐的體積可轉化成三棱錐的體積，而底面，從而即為三棱錐的高，根據三棱錐的體積公式進行求解即可．
試題解析：（1）證明：取PC的中點G，連接GF，因為F為PD的中點，
所以，GF∥CD且又E為AB的中點，ABCD是正方形，
所以，AE∥CD且故AE∥GF且
所以，AEGF是平行四邊形，故AF∥EG，而平面，
平面，所以，AF∥平面.
（2）因為PA⊥底面ABCD，所以，PA是三棱錐P-EBC的高，PA⊥AD，PA＝2，
∠PDA=45⁰，所以，AD=2，正方形ABCD中，E為AB的中點，所以，EB=1，故的面積為1，故.
故三棱錐C－BEP的體積為.