Question

17、形如45132這樣的數叫做“五位波浪數”，即十位數字、千位數字均比它們各自相鄰的數字大，則由數字0，1，2，3，4，5，6，7可構成無重復數字的“五位波浪數”的個數為

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Answer 1

分析：由題意知，此題結構上比較復雜，需要考慮的因素過多，可以采用分類計數的辦法求解本題，具體分類即要考慮定義“五位波浪數”，也要考慮十位數字、千位數字均比它們各自相鄰的數字大，也要考慮特殊數字0在不在首位，具體分法請看解題過程

解答：解：大的方面按十位數字、千位數字分類，十位、千位分別為7與6，7與5，7與4，7與3，7與2，6與5，6與4，6與3，6與2，5與4，5與3，5與2，4與3，共13類，下開始分類計數
若十位、千位分別為是7與6，由于兩數可交換位置故兩者的安排有A₂²，再安排萬位，不能取0，故A₅¹種，再安排百位與個位，共有A₅²，故總的種數為A₂²A₅¹A₅²=200，
若十位、千位分別為是7與5，若7在千位，5在十位，若有6時，6必在萬位，則此種情況安排方法有A₅²種，若無6，則須先安排萬位，有A₄¹種安排方法，其它兩位有A₄²種安排方法即此種情況安排方法種數為A₄¹×A₄²，若7在十位，5在千位，若有6，則6必在個位，再安排萬位有A₄¹種方法，百位也有A₄¹種方法，即此種情況有A₄¹×A₄¹，若無6，則萬位安排方法有A₄¹種，百位與個位安排方法有A₄²種，此種情況有A₄¹×A₄²種，本類總的安排方法有
A₅²+A₄¹×A₄²+A₄¹×A₄¹+A₄¹×A₄²=20+48+16+48=132
若十位、千位分別為是7與4，若7在千位，4在十位，若有6或5之一時，則此數必在萬位，則此種情況安排方法有A₂¹A₄²種，若無6與5，則須先安排萬位，有A₃¹種安排方法，其它兩位有A₃²種安排方法，即此種情況安排方法種數為A₃¹×A₃²，若7在十位，4在千位，若有6或5之一時，則其必在個位，再安排萬位有A₃¹種方法，百位也有A₃¹種方法，即此種情況有A₂¹A₃¹×A₃¹，若無6或5，則萬位安排方法有A₃¹種，百位與個位安排方法有A₃²種，此種情況有A₃¹×A₃²種，本類總的安排方法有A₂¹A₄²+A₃¹×A₃²+A₂¹A₃¹×A₃¹+A₃¹×A₃²=24+18+18+18=78
若十位、千位分別為是7與3，若7在千位，3在十位，若有6，5，4之一時，則其必在萬位，則此種情況安排方法有A₃¹×A₃²種，若無6，5，4，則須先安排萬位，有A₂¹種安排方法，其它兩位有A₂²種安排方法，即此種情況安排方法種數為A₂¹×A₂²，若7在十位，3在千位，若有6，5，4，則其必在個位安排方法有A₃¹，再安排萬位有A₂¹種方法，百位也有A₂¹種方法，即此種情況有A₃¹×A₂¹×A₂¹若無6，5，4，則萬位安排方法有A₂¹種，百位與個位安排方法有A₂²種，此種情況有A₂¹×A₂²種，本類總的安排方法有A₃¹×A₃²+A₂¹×A₂²+A₃¹×A₂¹×A₂¹+A₂¹×A₂²=38
若十位、千位分別為是7與2，若7在千位，2在十位，若有6，5，4，3之一時，其必在萬位，有A₄¹種安排方法，百位與個位有A₂²種安排方法，則此種情況有A₄¹×A₂²種安排方法，若7在十們，2在千位，安排方法有A₄¹種，本類總的安排方法為A₄¹×A₂²+A₄¹=12，
若十位、千位分別為是6與5，由于兩數可交換位置故兩者的安排有A₂²，再安排萬位，不能取0，故A₄¹種，再安排百位與個位，共有A₄²，故總的種數為A₂²A₄¹A₄²=96，
若十位、千位分別為是6與4，其總的安排方法有A₄²+A₃¹×A₃²+A₃¹×A₃¹+A₃¹×A₃²=57
若十位、千位分別為是6與3，其總的安排方法有2A₃²+A₂¹×A₂²+2A₂¹×A₂¹+A₂¹×A₂²=28
若十位、千位分別為是6與2，其總的安排方法有A₃¹×A₂²+A₃¹=9
若十位、千位分別為是5與4，由于兩數可交換位置故兩者的安排有A₂²，再安排萬位，不能取0，故A₃¹種，再安排百位與個位，共有A₃²，故總的種數為A₂²A₃¹A₃²=36，
若十位、千位分別為是5與3，其總的安排方法有A₃²+A₂¹×A₂²+A₂¹×A₂¹+A₂¹×A₂²=18
若十位、千位分別為是5與2，其總的安排方法有A₂¹×A₂²+A₂¹=6
若十位、千位分別為是4與3，由于兩數可交換位置故兩者的安排有A₂²，再安排萬位，不能取0，故A₂¹種，再安排百位與個位，共有A₂²，故總的種數為A₂²A₂¹A₂²=8，
故總的安排方法有200+132+78+38+12+96+57+28+9+36+18+6+8=718

點評：本題考查排列組合及簡單計數問題，解決問題的關鍵是要求出指定的事件由0，1，2，3，4，5，6，7可構成不重復的“五位波浪數”的個數，則要對該問題準確分類，做到不重復，不遺漏，正確求解結果．本題極易因為分類不清出錯．