Question

已知點A（0，1），B，C是x軸上兩點，且|BC|=6（B在C的左側）．設△ABC的外接圓的圓心為M．
（Ⅰ）已知

AB

•

AC

=-4，試求直線AB的方程；
（Ⅱ）當圓M與直線y=9相切時，求圓M的方程；
（Ⅲ）設|AB|=l₁，|AC|=l₂，s=

l1

l2

+

l2

l1

，試求s的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出B，C的坐標，利用

AB

•

AC

=-4，建立方程，求得B，C的坐標，從而可得直線AB的方程；
（Ⅱ）設圓心為（a，b），半徑為r，利用圓M與直線y=9相切，建立方程組，從而可求圓M的方程；
（Ⅲ）設B（m-3，0），C（m+3，0），求出|AB|=l₁，|AC|=l₂，s=

l1

l2

+

l2

l1

，利用換元法、配方法即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設B（a，0），則C（a+6，0）．
∵A（0，1），∴

AB

=(a，-1)，

AC

=(a+6，-1)，
由

AB

•

AC

=-4得a（a+6）+1=-4，
解得：a=-1或-5，
所以，直線AB的方程為y=x+1或y=

1

5

x+1
（Ⅱ）設圓心為（a，b），半徑為r，則

a2+(b-1)2 =r b2+9 =r |9-b|=r

，解之得：a=±4，b=4，r=5，
所以，圓M的方程為（x±4）²+（y-4）²=25．
（Ⅲ）設B（m-3，0），C（m+3，0），則l1=

(m-3)2+1

，l2=

(m+3)2+1

，
所以，s=

l1

l2

+

l2

l1

=

l12+l22

l1l2

=

2(m2+10)

(m2+10)2-36m2

令m²+10=t（t≥10），則s=

2t

t2 -36t+360

=

2

360( 1 t - 1 20 )2+ 1 10

≤2

10

等號當且僅當t=20，即m=±

10

時取得．
∴當m=±

10

時，s的最大值為2

10

點評：本題考查向量知識的運用，考查圓的標準方程，考查最值的求解，正確列出函數關系式是關鍵．